MATEMATICAS
TEMA: FACTORIZACIÓN
Se llama factorizar a la acción contraria de los productos notables; es decir al resultado de un producto notable ( suma o resta ) lo convertimos nuevamente en multiplicación.
Por lo anterior, recuerda que cuando desarrollamos un Producto Notable su resultado quedó indicado en forma de suma y/o resta. Convertir esa suma o resta nuevamente en multiplicación es factorizar.
Factorizar es uno de los temas más importantes de las matemáticas, que se empieza a estudiar desde la primaria, secundaria, preparatoria y nivel superior.
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO.
Al factorizarlo nos dará como resultado un BINOMIO CUADRADO.
Regla para factorizar un trinomio al cuadrado perfecto.
Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término; el binomio así formado se eleva al cuadrado
Ejemplo: 4x 2 – 20 xy + 25 y 2 = ( 2x – 5 y ) 2
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO BINOMIO AL CUADRADO
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Al factorizar nos dará como resultado BINOMIOS CONJUGADOS.
Condición para que exista una Diferencia de Cuadrados. Debe existir una resta (diferencia) de dos términos y cada uno tener raíz cuadrada exacta.
Regla para factorizar una diferencia de cuadrados. Se extrae las raíces cuadradas al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de las mismas
Ejemplo: 49 x 6 - a 12 = ( 7 x 3 + a 6 ) ( 7 x3 - a 6 )
DIFERENCIA DE CUADRADOS BINOMIOS CONJUGADOS
FACTORIZAR EL RESULTADO DEL CUBO DE UN BINOMIO
al factorizar nos dará como resultado UN BINOMIO AL CUBO
regla para conocer si el polinomio es el resultado del Cubo de un Binomio. Un polinomio ordenado cuenta con cuatro términos, el primero y el último tienen raíz cúbica exacta, los términos intermedios deben cumplir la siguiente expresión: el triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz es igual al segundo término y el triple producto de la primera raíz por la segunda raíz al cuadrado es igual al tercer término.
Ejemplo: x 3 – 6 x 2 + 12 x - 8 Resultado del cubo de un binomio.
x 3 tiene raíz cúbica exacta………….. x
8 tiene raíz cúbica exacta………….. 2
el triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz es igual al segundo término…….. 3 ( x ) 2 ( 2 ) = 6 x 2
el triple producto de la primera raíz por la segunda raíz al cuadrado es igual al tercer término………3 ( x ) ( 2 ) 2 = 12 x
Regla para factorizar el resultado del Cubo de un binomio. Se extrae la raíz cúbica del primero y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término; el binomio así formado se eleva al cubo
Ejemplo: 1 - 12 a + 48 a 2 - 64 a 3 = ( 1 - 4 a ) 3
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como: x2 + 5x + 6 y a2 - 2 a - 15
Ejemplos: x2 – 5x – 14 = ( x – 7 ) ( x + 2 ) El resultado se llama.
a2 - 13a + 40 = ( a - 5 ) ( a - 8 ) . BINOMIOS CON TERMINO COMUN
REGLA:
1) Se abren dos paréntesis
2) Se le saca raíz cuadrada al primer término ( término cuadrado)
3) En el 1er. Paréntesis se anota el primer signo del trinomio
4) En el 2º. Paréntesis se anota el producto de los dos signos del trinomio
5) Por último, se buscan dos números que: sumados nos del el coeficiente (número) del segundo termino del trinomio y multiplicados nos den el tercer termino del trinomio
TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
Son trinomios de esta forma: 2x2 + 11x + 5
3a2 + 7a - 6
que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.
Ejemplos: Hay dos formas para factorizar este trinomio.
Se recomienda hacerlo en forma directa
2x2 + 3x – 2 1º. Se abren dos paréntesis
3x2 – 5x – 2 2º. Se buscan dos términos que multiplicados den el 1er. Término del trinomio
6x2 + 7x + 5 3º. Los signos se anotan como en la forma del trinomio x2 + bx + c
4º. Se buscan dos números que multiplicados del el 3er. Termino del trinomio
5º. Se multiplican medios y extremos de los binomios y su suma debe ser igual
Al 2º. Termino del trinomio
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
FORMA
a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (1)
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (2)
REGLA
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1º La suma o diferencia de sus raíces cúbicas.
2º El cuadrado de la primera raíz, menos ó mas el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo x3 + 1 = ( x + 1 )[ a2 – x ( 1 ) + 12 ] = ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 ) .
a3 – 8 = ( a – 2 ) [ a2 + 2 ( a ) + 22 ] = ( a – 2 ) ( a2 + 2a + 4 )
FACTOR COMUN
CASO I: Factor común monomio
Ejemplo:
Descomponer 10b – 30 ab2
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los coeficientes de dividir 10b ¸ 10b = 1 y - 30ab2 ¸ 10b = - 3ab y tendremos:
10b – 30ab2 = 10b (1 – 3ab).
OTROS EJEMPLOS:
a) Descomponer 10 a2 – 5a + 15a3
El factor común es 5a . Tendremos:
10a2 – 5a + 15a3 = 5a( 2a - 1 + 3a2).
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