ALGEBRA: Ecuaciones de primes grado

ELABORACION DE SECUENCIAS DIDACTICAS

EN LA MATERIA DE :

ALGEBRA

Prof.. Juan Manuel Castillo Martínez

SECUENCIA DIDACTICA DE LA MATERIA DE: Álgebra. SEMESTRE :  I

TEMA: Ecuaciones lineales: Ecuaciones de primer grado               

TIEMPO PROGRAMATICO_________

TEMA INTEGRADOR:  La amistad

CONCEPTO FUNDAMENTAL: Apoyo mutuo

CONCEPTO SUBSIDIARIO: Tolerancia

CATEGORIAS: Espacio, materia, diversidad

VALORES: Respeto y libertad

CONTENIDOS FACTICOS: Clasificación de ecuaciones,  ecuaciones de primer grado con números enteros y con números fraccionarios

OBJETIVO:  Que el alumno comprenda que el idioma dl álgebra consiste en combinar todos los temas que estudia el álgebra en el planteamiento y resolución d un problema.

ACTIVIDADES DE APERTURA

ü  Se presenta al grupo un problema.

ü  Se le pide al alumno que en forma individual, plante una estrategia para su solución.

ü  Se organiza al grupo en equipos para compartir los resultados individuales.

ü  Se analizan resultados en una plenaria.

PROBLEMA

Un turista visita tres ferias; en la primera duplica su dinero y gasta 30 monedas de oro; en la segunda triplica su dinero y gasta 54 monedas de oro; en la tercera cuadruplica su dinero y gasta 72 monedas de oro. Al final le quedan 48 monedas de oro ¿con cuantas monedas empezó su recorrido por las ferias ?

Planteamiento y solución

Cantidad de monedas con las que llegó a la feria                 x...                               29

1ª. Feria duplica su dinero                                                            2 x...                2 ( 29 ) = 58

gasta 30 monedas de oro                                                     2 x - 30...                 58 - 30 = 28

2ª. Feria triplica su dinero                                         3 ( 2 x - 30 )...                 3 ( 28 ) = 84

gasta 54 monedas de oro                                           6 x - 90 - 54...                 84 - 54 = 30

3ª. Feria cuadruplica su dinero                           4 ( 6 x - 144 )...                 4 ( 30 ) = 120

gasta 72 monedas de oro                              24 x - 576 - 72...                          120 - 72 = 48

al final se queda con 48 monedas             24 x - 648 = 48...                  48= 48    l.q..q.d.

se despeja   x                                                                      24 = 48 + 648

                                                                                              24 x = 696

                                                                                                   x = 29

ACTIVIDADES DE DESARROLLO

Contenidos de aprendizaje

Ecuación .- es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas  incógnitas

Partes de una ecuación

Primer miembro.- toda la expresión que esta de lado izquierdo de la igualdad

Segundo miembro.- toda la expresión que esta de lado derecho de la igualdad

Término.- partes que forman un miembro

Grado de una ecuación .- Es el mayor exponente que tiene una incógnita.

Ecuación de primer grado                  4x – 6 = 3x – 1

A la ecuación de primer grado también se le llama ecuación lineal

Ecuación de segundo grado  x ² – 5x +6 = 0

Resolver una ecuación.- es hallar sus raíces o sea el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación

Momentos emotivos desfrutados en tamasopo

ALGEBRA. Factorización

MATEMATICAS

TEMA: FACTORIZACIÓN

Se llama factorizar a la acción contraria de los productos notables; es decir al resultado de un producto notable ( suma o resta ) lo convertimos nuevamente en multiplicación.

Por lo anterior, recuerda que cuando desarrollamos un Producto Notable su resultado quedó indicado en forma de suma y/o resta. Convertir esa suma o resta nuevamente en multiplicación es factorizar.

Factorizar es uno de los temas más importantes de las matemáticas, que se empieza a estudiar desde la primaria, secundaria, preparatoria y nivel superior.

TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO.

Al factorizarlo nos dará como resultado un BINOMIO  CUADRADO.

Regla para factorizar un trinomio al cuadrado perfecto.

Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término; el binomio así formado se eleva al cuadrado

                                              

Ejemplo:                              4x ² – 20 xy + 25 y  ² = ( 2x – 5 y ) ²

                               TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO     BINOMIO AL CUADRADO

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Al factorizar nos dará como resultado BINOMIOS CONJUGADOS.

Condición para que exista una Diferencia de Cuadrados. Debe existir una resta (diferencia) de dos términos y cada uno tener raíz cuadrada exacta.

Regla para factorizar una diferencia de cuadrados. Se extrae las raíces cuadradas al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma  de estas raíces por la diferencia de las mismas

Ejemplo:                              49 x ⁶   -  a ¹² =   ( 7 x ³ + a ⁶ ) ( 7 x³  -  a ⁶ )

                                                                                                                                       

                                      DIFERENCIA DE CUADRADOS              BINOMIOS CONJUGADOS

               

FACTORIZAR EL RESULTADO DEL CUBO DE UN BINOMIO

al factorizar nos dará como resultado  UN BINOMIO AL CUBO

regla para conocer si el  polinomio es el resultado del Cubo de un Binomio. Un polinomio ordenado cuenta con cuatro términos, el primero y el último tienen raíz cúbica exacta, los términos intermedios deben cumplir la siguiente expresión: el triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz es igual al segundo término y  el triple producto de la primera raíz por la segunda raíz al cuadrado es igual al tercer término.

Ejemplo:               x ³ – 6 x ²  + 12 x   - 8          Resultado del cubo de un binomio.

                                                                              x ³                 tiene raíz cúbica exacta………….. x

                                                                              8             tiene raíz cúbica exacta………….. 2

el triple producto de la primera raíz al cuadrado por la segunda raíz es igual al segundo término…….. 3 ( x ) ² ( 2 ) = 6 x ²                                                                            

el triple producto de la primera raíz por la segunda raíz al cuadrado es igual al tercer término………3 ( x ) ( 2 ) ²  = 12 x

Regla para factorizar el resultado del Cubo de un binomio. Se extrae la raíz cúbica del primero y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término; el binomio así formado se eleva al cubo

Ejemplo:                     1 - 12 a + 48 a ²  - 64 a ³  =  ( 1 - 4 a ) ³

TRINOMIO DE LA FORMA  x² + bx  + c

Trinomios de la forma x²  + bx  +  c son trinomios como:     x²  + 5x  +  6       y                  a²  - 2 a   - 15

Ejemplos:             x²  –  5x  –  14  =  ( x – 7 ) ( x + 2 )         El resultado se llama.

                               a²  -  13a  + 40  = ( a -  5 ) ( a  -  8  )  .    BINOMIOS CON TERMINO COMUN

REGLA:   

1)       Se abren dos paréntesis

2)       Se le saca raíz cuadrada al primer término ( término cuadrado)

3)       En el 1er. Paréntesis se anota el  primer signo del trinomio

4)       En el 2º. Paréntesis se anota el producto de los dos signos del trinomio

5)       Por último, se buscan dos números que: sumados nos del el coeficiente (número) del segundo termino del trinomio y multiplicados nos den el tercer termino del trinomio

TRINOMIO DE LA FORMA         ax²  + bx  +  c

Son trinomios de esta forma:                          2x²  +  11x  +  5

                                                                              3a² +  7a -  6

                                                                             

que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior porque el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

Ejemplos:                                                                            Hay dos formas para factorizar este trinomio.

                                                                                              Se recomienda hacerlo en forma directa

2x² + 3x – 2                         1º. Se abren dos paréntesis                                                            

3x² – 5x – 2                           2º. Se buscan dos términos que multiplicados den el 1er. Término del  trinomio              

 6x² + 7x + 5                        3º. Los signos se anotan como en la forma del trinomio x² + bx  + c

                                               4º. Se buscan dos números que multiplicados del el 3er. Termino del trinomio

                                               5º. Se multiplican medios y extremos de los binomios y su suma debe ser igual

                                    Al 2º. Termino del trinomio

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

FORMA

                a³ + b³ = ( a + b )( a² – ab + b² )                     (1)

                a³ – b³ = ( a – b )( a² + ab + b² )                     (2)

REGLA 

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1º La suma  o diferencia de sus raíces cúbicas.

2º El cuadrado de la primera raíz, menos ó mas el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo                                               x³ + 1 = ( x + 1 )[ a² – x ( 1 ) + 1² ] = ( x + 1 ) ( x² – x + 1 )   .

                                               a³ – 8 = ( a – 2 ) [ a² + 2 ( a ) + 2² ]  = ( a – 2 ) ( a² + 2a + 4 )  

FACTOR COMUN

CASO I: Factor común monomio

Ejemplo:

Descomponer  10b – 30 ab²

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los coeficientes de dividir 10b ¸ 10b = 1 y  - 30ab² ¸ 10b = - 3ab  y tendremos:

                                                       10b – 30ab² = 10b (1 – 3ab). 

OTROS EJEMPLOS:

a) Descomponer  10 a² – 5a + 15a³

El factor común es 5a . Tendremos:

                                                       10a² – 5a + 15a³ = 5a( 2a - 1 + 3a²).